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Solution graphique d'équations, d'inégalités

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La méthode graphique est l’une des méthodes les plus pratiques pour résoudre les inégalités carrées. Dans cet article, nous examinerons comment les inégalités carrées sont résolues graphiquement. Premièrement, nous discutons de l’essence de cette méthode. Ensuite, nous donnons un algorithme et considérons des exemples de résolution graphique d’inégalités carrées.

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L'essence de la méthode graphique

Généralement manière graphique de résoudre les inégalités avec une variable, il est utilisé non seulement pour résoudre des inégalités carrées, mais aussi des inégalités d'autres types. L'essence de la méthode graphique de résolution des inégalités next: considérons les fonctions y = f (x) et y = g (x), qui correspondent aux côtés gauche et droit de l'inégalité, trace leur graphique dans un système de coordonnées rectangulaire et recherche à quels intervalles le graphique de l'une d'elles est situé plus bas ou plus haut que l'autre. Ces lacunes auxquelles

  • le graphe de la fonction f au dessus du graphe de la fonction g sont des solutions de l'inégalité f (x)> g (x),
  • un graphe d'une fonction f non inférieure à un graphe d'une fonction g sont des solutions de l'inégalité f (x) ≥g (x),
  • le graphique de la fonction f sous le graphique de la fonction g sont des solutions de l'inégalité f (x),
  • un graphe d'une fonction f non supérieure à un graphe d'une fonction g sont des solutions de l'inégalité f (x) ≤g (x).

Nous disons aussi que les abscisses des points d'intersection des graphes des fonctions f et g sont des solutions de l'équation f (x) = g (x).

Nous transférons ces résultats à notre cas - pour résoudre l'inégalité quadratique a · x 2 + b · x + c (≤,>, ≥).

Nous introduisons deux fonctions: la première y = a x 2 + b x x c (dans ce cas, f (x) = a x 2 + b x x c) correspond au côté gauche de l'inégalité au carré, la seconde y = 0 (dans ce cas, g (x) = 0) correspond au côté droit de l'inégalité. Calendrier fonction quadratique f est une parabole et le graphique fonction permanente g est une droite coïncidant avec l'axe des abscisses Ox.

En outre, selon la méthode graphique de résolution des inégalités, il est nécessaire d’analyser à quels intervalles le graphe d’une fonction est situé au-dessus ou au-dessous de l’autre, ce qui nous permettra d’écrire la solution souhaitée pour l’inégalité au carré. Dans notre cas, nous devons analyser la position de la parabole par rapport à l'axe Ox.

En fonction des valeurs des coefficients a, b et c, les six options suivantes sont possibles (une représentation schématique suffit pour répondre à nos besoins et l'axe Oy peut être omis car sa position n'affecte pas la solution de l'inégalité):



Dans ce dessin, on voit une parabole dont les branches sont dirigées vers le haut et qui coupe l’axe Ox en deux points dont les abscisses sont x1 et x2 . Ce dessin correspond au cas où le coefficient a est positif (il est responsable de la direction ascendante des branches de la parabole) et lorsque la valeur est positive discriminant d'un trinôme carré a x 2 + b x x c (le trinôme a deux racines que nous avons appelées x1 et x2 et nous avons accepté que x1 , puisque sur l’axe Ox un point d’abscisse x1 à gauche du point x2 ) Si vous voulez des détails, construisez la parabole y = x 2 - x - 6, son coefficient a = 1> 0, D = b 2 - 4 · a · c = (- 1) 2 - 4 · 1. (- 6) = 25> 0, x1= −2, x2=3 .

Pour plus de clarté, décrivons en rouge les parties de la parabole situées au-dessus de l’axe des abscisses et en bleu - situées au-dessous de l’axe des abscisses.

Nous découvrons maintenant quelles lacunes correspondent à ces parties. Le dessin suivant aidera à les déterminer (à l'avenir, nous allons dessiner mentalement des allocations similaires sous forme de rectangles):

Donc, sur l’axe des abscisses, deux espaces vides ont été mis en évidence en rouge (−∞, x1) et (x2, + ∞), sur eux une parabole est supérieure à l’axe Ox, ils constituent la solution de l’inégalité quadratique a · x 2 + b · x + c> 0, et de l’écart (x1x2), il a une parabole au-dessous de l’axe Ox, c’est une solution de l’inégalité a. x 2 + b. x + c. Les solutions des inégalités carrées non-strictes a · x 2 + b · x + c≥0 et a · x 2 + b · x + c≤0 seront les mêmes intervalles, mais les nombres x devraient y être inclus1 et x2 correspondant à l'égalité a. x 2 + b. x + c = 0.

Et maintenant brièvement: pour a> 0 et D = b 2 - 4 · a · c> 0 (ou D '= D / 4> 0 pour un coefficient pair b)

  • la solution de l'inégalité quadratique a. x 2 + b. x + c> 0 est (−∞, x1) (X2, + ∞) ou dans une autre notation x, x> x2 ,
  • en résolvant l'inégalité quadratique une2+ b · x + c≥0 est (−∞, x1] [X2, + ∞) ou dans une autre notation x≤x1 , x≥x2 ,
  • la solution de l'inégalité quadratique a. x 2 + b. x + c est (x1x2) ou dans une autre entrée x1 ,
  • la solution de l'inégalité carrée a. x 2 + b. x + c≤0 est [x1x2] ou dans une autre entrée x1≤x≤x2 ,

où x1 et x2 Sont les racines du trinôme carré a. X 2 + b. X + c, et x1 .



Nous voyons ici une parabole dont les branches sont dirigées vers le haut et qui touche l’axe des abscisses, c’est-à-dire qu’elle a un point commun, on note l’abscisse de ce point par x0 . Le cas présenté correspond à a> 0 (les branches sont orientées vers le haut) et D = 0 (le trinôme carré a une racine x0 ) Par exemple, on peut prendre la fonction quadratique y = x 2 −4. X + 4, ici a = 1> 0, D = (- 4) 2 −4 · 1 · 4 = 0 et x0=2 .

Le dessin montre clairement que la parabole est située partout au-dessus de l’axe Ox, à l’exception du point de tangence, c’est-à-dire dans les intervalles (−∞, x0), (x0, ∞). Par souci de clarté, nous sélectionnons les zones du dessin par analogie avec le paragraphe précédent.

Nous tirons des conclusions: pour a> 0 et D = 0

  • la solution de l'inégalité quadratique a. x 2 + b. x + c> 0 est (−∞, x0) (X0, + ∞) ou dans une autre notation x ≠ x0 ,
  • la solution de l'inégalité quadratique a · x 2 + b · x + c≥0 est (−∞, + ∞) ou dans une autre notation xR,
  • l'inégalité carrée a · x 2 + b · x + c n'a pas de solution (il n'y a pas d'intervalles sur lesquels la parabole est située en dessous de l'axe Ox),
  • l'inégalité au carré a. x 2 + b. x + c≤0 a une solution unique x = x0 (ça vous donne un point de contact)

où x0 est la racine du trinôme carré a. x 2 + b. x + c.



Dans ce cas, les branches de la parabole sont orientées vers le haut et il n’a pas de points communs avec l’axe des abscisses. Nous avons ici les conditions a> 0 (les branches sont orientées vers le haut) et D (le trinôme carré n'a pas de racines réelles). Par exemple, nous pouvons tracer la fonction y = 2 · x 2 +1, ici a = 2> 0, D = 0 2 -4 · 2 · 1 = −8.

Evidemment, la parabole est située au dessus de l'axe Ox sur toute sa longueur (il n'y a pas d'intervalles où elle se trouve en dessous de l'axe Ox, il n'y a pas de point de tangence).

Ainsi, pour a> 0 et D, la solution des inégalités carrées a · x 2 + b · x + c> 0 et a · x 2 + b · x + c≥0 est l'ensemble de tous les nombres réels, et les inégalités a · x 2 + b · x + c et a · x 2 + b · x + c≤0 n'ont pas de solution.

Et il reste trois options pour l'emplacement de la parabole avec les branches orientées vers le bas et non vers le haut par rapport à l'axe Ox. En principe, ils ne peuvent pas être pris en compte, car multiplier les deux côtés de l'inégalité par −1 permet de passer à l'inégalité équivalente avec un coefficient positif à x 2. Mais cela ne fait pas de mal de se faire une idée de ces cas. Le raisonnement est similaire, nous n’écrivons que les principaux résultats.



Pour a et D> 0

  • la solution de l'inégalité quadratique a. x 2 + b. x + c> 0 est (x1x2) ou dans une autre entrée x1 ,
  • la solution de l'inégalité carrée a. x 2 + b. x + c≥0 est [x1x2] ou dans une autre entrée x1≤x≤x2 ,
  • la solution de l'inégalité quadratique a. x 2 + b. x + c est (−∞, x1) (X2, + ∞) ou dans une autre notation x, x> x2 ,
  • la solution de l'inégalité quadratique a. x 2 + b. x + c≤0 est (−∞, x1] [X2, + ∞) ou dans une autre notation x≤x1, x≥x2 ,

où x1 et x2 Sont les racines du trinôme carré a. X 2 + b. X + c, et x1 .



Pour a et D = 0

  • l'inégalité carrée a · x 2 + b · x + c> 0 n'a pas de solution,
  • l'inégalité carrée a x 2 + b x x c≥0 a une solution unique x = x0 ,
  • la solution de l'inégalité a. x 2 + b. x + c est (−∞, x0) (X0, + ∞) ou dans une autre notation x ≠ x0 ,
  • la solution de l'inégalité quadratique a · x 2 + b · x + c≤0 est l'ensemble de tous les nombres réels (−∞, + ∞) ou dans une autre notation xR,

où x0 est la racine du trinôme carré a. x 2 + b. x + c.



Pour a et D, les inégalités carrées a · x 2 + b · x + c> 0 et a · x 2 + b · x + c≥0 n'ont pas de solution, et en résolvant les inégalités a · x 2 + b · x + c et a · X 2 + b · x + c≤0 est l'ensemble de tous les nombres réels.

Algorithme de décision

Le résultat de tous les calculs précédents est algorithme pour résoudre graphiquement les inégalités carrées:

Sur le plan des coordonnées, on effectue un dessin schématique sur lequel l’axe Ox est représenté (l’axe Oy est optionnel) et un croquis de la parabole correspondant à la fonction quadratique y = a x 2 + b x x c. Pour construire un croquis de parabole, il suffit de trouver deux points:

  • Premièrement, par la valeur du coefficient a, il apparaît où ses branches sont dirigées (pour a> 0 - haut, pour a - bas).
  • Et deuxièmement, la valeur du discriminant du trinôme carré a · x 2 + b · x + c indique si la parabole coupe l'axe des abscisses en deux points (pour D> 0), le touche en un point (à D = 0), ou n'a pas de points communs avec l'axe Ox (pour D). Pour des raisons pratiques, les coordonnées des points d'intersection ou les coordonnées du point de tangence (si ces points sont présents) sont indiquées sur le dessin et les points eux-mêmes sont représentés ponctués lors de la résolution d'inégalités strictes, ou ordinaires lors de la résolution d'inégalités non strictes.

Lorsque le dessin est prêt, dans la deuxième étape de l'algorithme

  • lors de la résolution de l'inégalité carrée a x 2 + b x x c> 0, on détermine les intervalles auxquels la parabole est située au-dessus de l'abscisse,
  • lors de la résolution de l'inégalité a · x 2 + b · x + c≥0, on détermine les intervalles auxquels la parabole est située au-dessus de l'axe des abscisses et les abscisses des points d'intersection (ou l'abscisse du point de tangence) leur sont ajoutés,
  • lors de la résolution de l'inégalité a x 2 + b x x c, il y a des trous sur lesquels la parabole est en dessous de l'axe Ox,
  • enfin, en résolvant une inégalité carrée de la forme a · x 2 + b · x + c≤0, il y a des trous pour lesquels la parabole est en dessous de l'axe Ox et les abscisses des points d'intersection (ou l'abscisse du point de tangence) leur sont ajoutées,

ils constituent la solution souhaitée à l'inégalité carrée, et s'il n'y a pas de tels écarts et s'il n'y a pas de points de tangence, l'inégalité carrée d'origine n'a pas de solution.

Il ne reste plus qu'à résoudre plusieurs inégalités carrées à l'aide de cet algorithme.

L'essence de la méthode graphique

La méthode est applicable pour résoudre toutes les inégalités, pas seulement les carrés. Son essence est la suivante: les côtés droit et gauche de l'inégalité sont considérés comme deux fonctions distinctes y = f (x) et y = g (x), leurs graphes sont construits dans un système de coordonnées rectangulaires et ils regardent lequel des graphes est situé au-dessus de l'autre, et lequel intervalles. Les écarts sont estimés comme suit:

  • les solutions de l'inégalité f (x)> g (x) sont les intervalles où le graphe de la fonction f est supérieur au graphe de la fonction g,
  • les solutions de l'inégalité f (x) ≥ g (x) sont les intervalles où le graphe de f n'est pas inférieur au graphe de g,
  • les solutions de l'inégalité f (x) g (x) sont les intervalles où le graphe de la fonction f est inférieur au graphe de la fonction g,
  • les solutions de l'inégalité f (x) ≤ g (x) sont les intervalles où le graphe de f n'est pas supérieur au graphe de g,
  • les abscisses des points d'intersection des graphes des fonctions f et g sont des solutions de l'équation f (x) = g (x).

Considérons l'algorithme ci-dessus en utilisant un exemple. Pour ce faire, prenons l'inégalité du carré a · x 2 + b · x + c 0 (≤,>, ≥) et en déduisons deux fonctions. Le côté gauche de l'inégalité correspondra à y = a. X 2 + b. X + c (dans ce cas, f (x) = a. X 2 + b. X + c), et le droit y = 0 (dans ce cas, g (x) = 0)

Le graphique de la première fonction est une parabole, la seconde une ligne droite qui coïncide avec l'axe des x. Analysons la position de la parabole par rapport à l'axe O x. Pour ce faire, nous effectuons un dessin schématique.

Une solution à deux racines dans un trinôme quadratique

Les branches de la parabole sont orientées vers le haut. Il croise l'axe x aux points x 1 et x 2 . Le coefficient a dans ce cas est positif, puisque c’est lui qui est responsable de la direction des branches de la parabole. Le discriminant est positif, indiquant la présence de deux racines dans le trinôme carré a x 2 + b x x c . Les racines du trinôme que nous avons désigné comme x 1 et x 2 et accepté que x 1 x 2 , puisqu'un point en abscisse est représenté sur l'axe O x x 1 à gauche du point d'abscisse x 2 .

Les parties de la parabole situées au-dessus de l'axe O x sont indiquées en rouge, en dessous - en bleu. Cela nous permettra de rendre l'image plus visuelle.

Sélectionnez les espaces qui correspondent à ces pièces et marquez-les sur la figure avec des champs d'une certaine couleur.

Nous avons marqué en rouge les espaces (-, x 1) et (x 2, +), sur eux une parabole au-dessus de l’axe O x. Ils sont la solution de l'inégalité quadratique a · x 2 + b · x + c> 0. Nous avons marqué en bleu l'intervalle (x 1, x 2), ce qui est une solution à l'inégalité a · x 2 + b · x + c 0. Les nombres x 1 et x 2 correspondront à l'égalité a. X 2 + b. X + c = 0.

Faisons un bref compte rendu de la solution. Pour a> 0 et D = b 2 - 4 · a · c> 0 (ou D '= D 4> 0 pour un coefficient pair b) on obtient:

  • la solution de l'inégalité quadratique a · x 2 + b · x + c> 0 est (-, x 1) (x 2, + ∞) ou dans une autre notation x x 1, x> x 2,
  • la solution de l'inégalité quadratique a · x 2 + b · x + c ≥ 0 est (- ∞, x 1] [x 2, + ∞) ou, dans une autre notation, x ≤ x 1, x ≥ x 2,
  • la solution de l'inégalité quadratique a · x 2 + b · x + c 0 est (x 1, x 2) ou dans une autre notation x 1 x x 2,
  • la solution de l'inégalité carrée a. x 2 + b. x + c ≤ 0 est soit dans une autre notation x 1 ≤ x ≤ x 2,

où x 1 et x 2 sont les racines du trinôme carré a. x 2 + b. x + c et x 1 x 2.

Une solution mono-racine pour un trinôme quadratique

Sur cette figure, la parabole touche l’axe O x en un seul point, indiqué par x 0 . Les branches de la parabole sont dirigées vers le haut, ce qui signifie que a> 0 . D = 0 par conséquent, le trinôme carré a une racine x 0 .

La parabole est située complètement au-dessus de l'axe O x, à l'exception du point de contact de l'axe des coordonnées. On note en couleur les intervalles (-, x 0), (x 0, ∞).

Enregistrez les résultats. À a> 0 et D = 0 :

  • résoudre l'inégalité carrée a x 2 + b x x c> 0 est (- ∞, x 0) (x 0, + ∞) ou dans une autre notation x ≠ x 0 ,
  • résoudre l'inégalité carrée a x 2 + b x x c ≥ 0 est ( − ∞ , + ∞ ) ou dans une autre notation x ∈ R,
  • inégalité au carré a x 2 + b x x c 0 n'a pas de solution (pas d'intervalles pour lesquels la parabole est située sous l'axe) O x ),
  • inégalité au carré a x 2 + b x x c ≤ 0 a la seule solution x = x 0 (ça vous donne un point de contact)

x 0 - racine du trinôme carré a x 2 + b x x c .

La solution d'un trinôme carré sans racine

Considérons le troisième cas lorsque les branches de la parabole sont dirigées vers le haut et ne touchent pas l'axe O x . Les branches de la parabole sont dirigées vers le haut, ce qui signifie que a> 0 . Le trinôme carré n’a pas de véritables racines, puisque D 0 .

Il n'y a pas d'intervalles sur le graphique où la parabole serait en dessous de l'axe des abscisses. Nous en tiendrons compte lorsque nous choisirons une couleur pour notre dessin.

Il s'avère qu'avec a> 0 et D 0 résoudre les inégalités carrées a x 2 + b x x c> 0 et a x 2 + b x x c ≥ 0 est l'ensemble de tous les nombres réels et des inégalités a x 2 + b x x c 0 et a x 2 + b x x c ≤ 0 pas de solutions.

Nous devons envisager trois options lorsque les branches de la parabole sont abaissées. Ces trois options ne peuvent pas être arrêtées en détail, car lorsque nous multiplions les deux côtés de l'inégalité par - 1, nous obtenons une inégalité équivalente avec un coefficient positif à x 2.

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Pendant le cours, vous pourrez étudier indépendamment le sujet "Solution graphique d’équations, d’inégalités". L'enseignant de la leçon analysera les méthodes graphiques permettant de résoudre des équations et des inégalités. Il vous apprendra à construire des graphiques, à les analyser et à trouver des solutions aux équations et aux inégalités. La leçon couvrira également des exemples spécifiques sur ce sujet.

Sujet: Fonctions numériques

Leçon: Solution graphique d'équations, d'inégalités

1. Sujet de la leçon, introduction

Nous avons examiné des graphes de fonctions élémentaires, y compris des graphes de fonctions de puissance avec différents exposants. Nous avons également examiné les règles de décalage et de transformation des graphes de fonctions. Toutes ces compétences doivent être appliquées au besoin. graphiquela décision équations ou graphique la décisionles inégalités.

2. Résoudre graphiquement les équations et les inégalités

Exemple 1. Résoudre graphiquement l'équation:

Nous construisons les graphes de fonctions (Fig. 1).

Graphe de fonction

Le graphique de la fonction est une ligne droite, nous le construisons en fonction du tableau.

Les graphiques se coupent en un point qui diminue de façon monotone, ce qui signifie que leur point d'intersection est unique.

La réponse est:

Exemple 2. Résoudre l'inégalité

a.

b.

a. Afin de satisfaire l'inégalité, le graphe de la fonction

b. Dans ce cas, au contraire, parabole

a.

b.

Exemple 3. Résoudre l'inégalité

Nous construisons les graphes de fonctions (Fig. 2).

Trouvez la racine de l'équation.

Donc, cette inégalité tient.

La réponse est:

Exemple 4. Résolvez les inégalités graphiquement:

a.

b.

Portée:

Nous construisons les graphes de fonctions (Fig. 3).

a. Graphe de fonction

b. Graphe de fonction

a.

b.

3. Conclusion

Nous avons examiné la méthode graphique de résolution d’équations et d’inégalités, examiné des exemples spécifiques et résolu les propriétés de fonctions telles que la monotonie et la parité.

Liste de lecture recommandée

1. Mordkovich A.G. et autres.Algèbre 9 cellules: Manuel. Pour l'enseignement général. Institutions - 4ème éd. - M .: Mnemozin, 2002.-192 p.

2. Mordkovich A.G. et autres: Algèbre de neuvième année: livre de problèmes pour les étudiants des établissements d'enseignement général / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina et autres - 4e éd. - M .: Mnemosyne, 2002.-143 p .: Ill.

3. Makarychev Yu. N. Algèbre. 9e année: manuel. pour les étudiants de l'enseignement général. institutions / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, I. E. Feoktistov. - 7 e éd., Rév. et ajouter. - M .: Mnemosyne, 2008.

4. Alimov Sh.A., Kolyagin Yu.M., Sidorov Yu.V. Algèbre 9 e année. 16ème éd. - M., 2011 .-- 287 p.

5. Mordkovich A. G. Algèbre. 9 e année. À deux heures, première partie. Un manuel à l'usage des étudiants des établissements d'enseignement / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 12ème éd. - M .: 2010 .-- 224 p .: Ill.

6. Algèbre. 9 e année. En 2 heures. Partie 2. Des énigmes pour les étudiants des établissements d'enseignement / A. G. Mordkovich, L.A. Alexandrova, T.N. Mishustina et autres, Ed. A. G. Mordkovich. - 12 e éd., Rév. - M.: 2010.-223 p.: Ill.

Liens Internet recommandés

1. Section College.ru en mathématiques (Source).

2. Projet Internet "Tasks" (Source).

3. Portail pédagogique "Je résous l'examen" (Source).

Devoir recommandé

1. Mordkovich A.G. et autres: Algèbre de neuvième année: livre de problèmes pour les étudiants des établissements d'enseignement général / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina et autres - 4e éd. - M .: Mnemosyne, 2002.-143 p .: Ill. N ° 355, 356, 364.

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